Постоялец гостиницы, не имея денег, договорился с хозяином, что будет расплачиваться, отдавая ему каждый день одно из семи звеньев своей золотой цепочки. и они, поразмыслив, смогли устроить так, что у хозяина каждый день прибавлялось по одному звену цепи. как они это сделали?

Чтобы постоялец гостиницы смог дать одно кольцо, нужно его отпилить. Но это можно сделать так, чтобы отделилось еще два или одно кольца для оплаты следующего дня.  То-есть если распилить только третье кольцо, то постоялец будет расплачиваться за каждый день. В первый день отдать распиленное кольцо, во второй забрать его и отдать два отпиленных кольца, в третий день к ним добавить распиленное кольцо, в четвертый день забрать все обратно и отдать четыре кольца. И т.д.