Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решить коши методом вариаций произвольных постоянных: y"-3y'+2y=1/2+e^-x; y(0)=1+2ln2; y'(0)=3ln2

Ответ:

Сергей1901

08.10.2020 07:32

$y''-3y'+2y=\frac{1}{2+e^{-x}}\\\lambda^2-3\lambda+2=0\\\lambda_1=1\ ;\lambda_2=2\\y=C_1e^x+C_2e^{2x}\\\begin{cases}C_1'(x)e^x+C_2'(x)e^{2x}=0\\C_1'(x)e^x+2C_2'(x)e^{2x}=\frac{1}{2+e^{-x}}\end{cases}\\W= \left[\begin{array}{cc}e^x&e^{2x}\\e^{x}&2e^{2x}\end{array}\right]=e^{3x}\\W_1=\left[\begin{array}{cc}0&e^{2x}\\\frac{1}{2+e^{-x}}&2e^{2x}\end{array}\right]=-\frac{e^{2x}}{2+e^{-x}}\\W_2=\left[\begin{array}{cc}e^x&0\\e^{x}&\frac{1}{2+e^{-x}}\end{array}\right]=\frac{e^x}{2+e^{-x}}$

$\displaystyle C_1'(x)=\frac{W_1}{W}=-\frac{e^{2x}}{(2+e^{-x})e^{3x}}=-\frac{1}{2e^{x}+1}\\C_1(x)=-\int\frac{dx}{2e^{x}+1}=-\int\frac{(2e^{x}-2e^{x}+1)dx}{2e^x+1}=\\-\int(1-\frac{2e^x}{2e^x+1})dx=ln|2e^x+1|-x+C_1\\\\\\\\C_2'(x)=\frac{W_2}{W}=\frac{e^{x}}{(2+e^{-x})e^{3x}}=\frac{1}{2e^{2x}+e^x}}\\C_2(x)=\int\frac{dx}{e^x(2e^x+1)}=\int(\frac{1}{e^{x}}-\frac{2}{2e^{x}+1})dx=\\=-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+C_2\\\\y=(ln|2e^x+1|-x+C_1)e^x+(-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+C_2)e^{2x}$

$\displaystyle y(0)=1+2ln2\\2+2ln2-3ln3=C_1+C_2\\\\y'=e^x(ln|2e^x+1|-x+C_1)+e^x(\frac{2e^x}{2e^x+1}-1)+\\+2e^{2x}(-e^{-x}+2ln|2e^x+1|-2x+C_2)+\\+e^{2x}(e^{-x}+\frac{4e^x}{2e^x+1}-2)\\\\y'(0)=3ln2\\2+3ln2-5ln3=C_1+2C_2\\\\C_2=ln2-2ln3\\C_1=2+ln2-ln3\\\\y=(ln|2e^x+1|-x+2+ln2-ln3)e^x+\\+(-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+ln2-2ln3)e^{2x}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

coffeepro80

23.03.2023 10:20

Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 2 и острый угол равен 60.каждый из двугранных углов при ребрах основания равен 45.найдите объем пирамиды....

azimovaaa

23.03.2023 10:20

Найдите все натуральные значения х при котором верно неравенство х/8 31/48...

elenkagumerovalistru

23.03.2023 10:20

Какие 3 примеры биологические явления и 3 примеры социальные явления?...

TheCosmos

23.03.2023 10:20

F(x) =2 cos(x-5п/3) + sin(x+п/3) в точке x = - п/3...

mitaikooo

23.03.2023 10:20

Найдите значение cosa, если известно,что sina =12/13 и a (тут значок перевернутой буквы э я незнаю что он означает поэтому пишу словами xd) 1 четверти. крч help me!...

umka2345

23.03.2023 10:20

Ского стаскивает сапог, мальчик спальчик в одноименой сказке шарль перо?...

hromgugd

23.03.2023 10:20

На лісопильню 40 соснових колод.дубових у5разів менше і24 кленові колоди. скільки всього колод привзли?...

sabinagamzaeva

23.03.2023 10:20

Знайка шпунтик и пончик зашли в кафе цветочного города.знайка за кофе,кекс и булочку уплатил 40 грошей,шпунтик за кофе,3 кекса и 7 булочек-1 талер и 26 грошей.найти сколько...

ZakuroElric

23.03.2023 10:20

На своем приусадебном участке семья выростила 56кг огурцов а перца-в8раз меньше чем огурцов на сколько килограммов перца было меньше чем огурцов...

KsushaTrefilova

23.03.2023 10:20

Что я люблю рисовать больше всего друг+а=?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку