Какое наибольшее количество подряд идущих натуральных чисел таких, что сумма цифр каждого из них, увеличенная на 1, является делителем этого числа?

Сумма цифр числа даёт такой же остаток при делении на 3, что и само число. Если число даёт остаток 2 при делении на 3, то его сумма цифр, увеличенная на 1, делится на 3, тогда сумма цифр, увеличенная на 1, не может являться делителем этого числа. Так как среди любых трёх последовательных чисел обязательно найдётся число, дающее остаток 2 при делении на 3, то последовательно можно взять не более двух чисел. 

Пример двух последовательных чисел: 39 делится на 3 + 9 + 1 = 13, 40 делится на 4 + 0 + 1 = 5.

ответ. 2 числа