Довжина одного із катетів прямокутного трикутника дорівнює 12. відстань від центра описаного навколо трикутника кола до цього катета дорівнює 2,5. знайти периметр трикутника.
Пусть треугольник АВС, прямой угол А, центр окружности О, дана длина АВ и расстояние от О до АВ это ОН. 1) ОН - это высота треугольника АВО. В то же время ОА и ОВ - радиусы описанной окружности, а значит они равны и этот треугольник равнобедренный. Значит ОН является одновременно и медианой АВО. 2) Раз ОН - медиана АВО, то АН=ВН=АВ/2=12/2 =6 3) Рассмотрим треугольник АНО. Он прямоугольный, известны катеты, найдём гипотенузу: АО²=ОН²+АН² = 2,5²+6² = 6,25 + 36 = 42,25 = 6,5² АО = 6,5 - это кстати и радиус окружности 4) Теперь представим отрезок ОМ, который является перпендикуляром к АС (т.е. М лежит на АС). По тому же принципу он будет медианой и высотой, а значит АМ=МС, и в то же время АМ=ОН. Значит АМ=МС=2,5, а весь АС=2*АМ=5 4) Зная катеты, можно найти гипотенузу: ВС²=АВ²+АС² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13² ВС = 13 5) И остался периметр: Р = АВ+ВС+АС = 12+13+5 = 30
1) ОН - это высота треугольника АВО. В то же время ОА и ОВ - радиусы описанной окружности, а значит они равны и этот треугольник равнобедренный. Значит ОН является одновременно и медианой АВО.
2) Раз ОН - медиана АВО, то АН=ВН=АВ/2=12/2 =6
3) Рассмотрим треугольник АНО. Он прямоугольный, известны катеты, найдём гипотенузу:
АО²=ОН²+АН² = 2,5²+6² = 6,25 + 36 = 42,25 = 6,5²
АО = 6,5 - это кстати и радиус окружности
4) Теперь представим отрезок ОМ, который является перпендикуляром к АС (т.е. М лежит на АС). По тому же принципу он будет медианой и высотой, а значит АМ=МС, и в то же время АМ=ОН. Значит АМ=МС=2,5, а весь АС=2*АМ=5
4) Зная катеты, можно найти гипотенузу:
ВС²=АВ²+АС² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13²
ВС = 13
5) И остался периметр:
Р = АВ+ВС+АС = 12+13+5 = 30