Σ)^n)(1/(n-cosn)) предели от 1 до бесконечности - вопрос №848651011 от Али20061111 25.01.2022 16:49

Question

Математика: Σ)^n)(1/(n-cosn)) предели от 1 до бесконечности иследовать абсолутную и условную сходимость

Али20061111 · Answer

Абсолютно расходится: |(-1)^n / (n - cos n)| > 1/(n - 1), ряд из 1/(n - 1) расходится.

Условная сходимость: в знаменателе вынесем n за скобку и воспользуемся формулой 1/(1 - x) = 1 + x + O(x^2) при |x| < 1:
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n(1-\frac{\cos n}n)}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n}n\left(1+\dfrac{\cos n}n+a_n\right)$
где
$|a_n|\ \textless \ C'\left(\dfrac {\cos n}{n}\right)^2\ \textless \ \dfrac C{n^2}$

Если раскрыть скобки, ряды из вторых и третьих слагаемых сходятся абсолютно, поскольку их члены по модулю не превосходят A/n^2 и B/n^3, ряд (-1)^n / n сходится условно по признаку Лейбница, значит, и весь ряд сходится условно.