Каким числом можно составить новогоднюю гирлянду из четырех шаров – фиолетового, желтого, розового и зеленого, если всегда ставить фиолетовый шар впереди розового?

Розовый не может быть первым.
1) Первый фиолетовый: ФЖРЗ, ФЖЗР, ФЗЖР, ФЗРЖ, ФРЖЗ, ФРЗЖ.
Всего 6 вариантов.
2) Первый желтый, розовый не второй: ЖЗФР, ЖФРЗ, ЖФЗР.
Всего 3 варианта.
3) Первый зеленый, розовый опять не второй: ЗЖФР, ЗФЖР, ЗФРЖ.
Всего 3 варианта.
Других вариантов быть не может, поэтому
ответ: 12 вариантов.