Войти Регистрация Спроси ai-bota

Исследовать на сходимость и вычислить сумму ряда прогрессии: 1 + q + q^2 + + q^n +

Ответ:

dimaschastny

07.10.2020 14:55

Здесь нужно рассматривать четыре случая.
$\triangleright~~~~~ 1.~~|q|\ \textless \ 1~~~~\Rightarrow~~~$ сходится.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\lim_{n \to \infty} \frac{1-q^n}{1-q}= \frac{1}{1-q} -\underbrace{\lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{1-q} }_{=0}= \frac{1}{1-q}.$

   $\boxed{S= \frac{1}{1-q} }~~-~~$ сумма ряда геометрической прогрессии

$~~~~~ 2.~~|q|\ \textgreater \ 1~~~~\Rightarrow~~~$ расходится

   $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n= \lim_{n \to \infty} \frac{1-q^n}{1-q}= \frac{1}{1-q}-\underbrace{ \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{1-q} }_{=\infty}=\infty.$

$~~~~~ 3.~~ q=1~~~~~\Rightarrow~~~~$ расходится.

$S_n=\underbrace{1+1+...+1}_{n}=n;~~~~\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n= \lim_{n \to \infty} n=\infty.$

$~~~~~ 4.~~ q=-1~~~~\Rightarrow~~$ расходится.

   $S_n=\underbrace{1-1+...\pm1}_{n}=0~~ or~~1;~~~ \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$ не существует     $\triangleleft$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Loler57ùö

06.10.2021 03:11

Чтобы набрать рукопись на компьютере одному челове нужно 12 дней, другому-на 2 дня меньше, а третьему потребуется времени в 1,5 раза больше, чем второму. за сколько дней могут набрать...

yulokkons

15.01.2020 01:48

Найдите площадь круга с радиусом1,2м...

9109160145davla

25.02.2020 02:13

Маше нужно сорвать 50 яблок и разложить их в корзинки таким образом, чтобы в каждой из корзинок было хотя бы по одному яблоку и нив одной корзинке не лежало одинаковое количество...

АниАпельсинка

25.02.2020 02:13

Выполнение ученик потратил 60 минут одну пустую этого времени он потратил на выполнение по познанию мира одну третью этого времени по а остальную часть по языку сколько минут потратил...

смпанк2004

14.06.2022 14:37

Поезд км за 09: 00 насколько километров в час машинист должен увеличить скорость поезда чтобы пройти тоже расстояние за 06: 00...

НероКорлеоне

14.06.2022 14:37

Позитивные грани воздействия искусства.сочинение...

Nera1337

14.06.2022 14:37

Напишите четырёхзначное число, которое делится на 9. может ли оно не дилиться на 3?...

Strelok72

10.03.2023 05:48

Какую часть метра 8 дм представьте свой ответ в виде несократимой дроби...

Marina56434655442

10.03.2023 05:48

Сколько существует трехзначных чисел в записи которых присутствуют только цифры от 3 до 7...

yayy6uytuy6

10.03.2023 05:48

Яделаю проект королевскую ватрушку по техне. в качестве начинки я использую творог и его как бы надо описать и написать дальше что я использую и что входит в пирог...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку