Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти сумму первых членов ряда, и пользуясь непосредственно определением, выяснить сходимость ряда, найти его сумму

Ответ:

snopchenkoilya

07.10.2020 12:05

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n=0$ - необходимое условие сходимости ряда выполняется, ряд сходится.

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(2n-1)(2n+5)}=\frac{1}{6}\sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+5}\right)=\frac{1}{6}\bigg(1-\frac{1}{7}+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\\ \\ \\ +\frac{1}{5}-\frac{1}{11}+\frac{1}{7}-\frac{1}{13}+\frac{1}{9}-\frac{1}{15}+...+\frac{1}{2n-4}-\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+5}\bigg)\\ \\ \\ =\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+5}\right)$

$\displaystyle S_n=\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+5}\right)$ - частичная сумма числового ряда. Переходя к пределу при $n\to \infty$ , найдем сумму.

$S=\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n= \frac{1}{6}\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+5}\right)=\frac{1}{6}\cdot \left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)=\\ \\ \\ =\frac{1}{6}\cdot \frac{15+5+3}{15}=\frac{23}{90}$

Сходимость ряда выполняется.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

rtydykov

04.05.2022 00:33

Туристы в 1 день км во 2 день двигаясь стой же скоростью они км с какой скоростью шли туристы если они затратили на весь путь 9 часов?...

лучшая40

04.05.2022 00:33

Найти периметр квадрата со стороной 25мм....

valeria575

22.11.2022 16:19

Расстояние от москвы до новосибирска 3320 км самолёт пролетает его за 4 часа за кокое время проедет это растояние поезд если скорость поезда в 10 раз меньше скорости...

LeraT12

22.11.2022 16:19

На полтвку клумбы израсходовали 3ведра воды,по 7 л, в каждом,сколько литров воды израсходовали на поливку клумбы....

Kismos2006

22.11.2022 16:19

Построй треугольник abc по координатам; a(6; 2); b(-3; -4); c(-1; 3)...

zimnyayaдевочка

22.11.2022 16:19

Вполдень из столицы в город а вышли скороход и торговец.одновремнно по той же дороге на встречу им из а вышел отряд стражников.через час стражники встретили скорохода,еще...

nastusha510

22.11.2022 16:19

3+5/8= 7/12+4/12= 1/6+5/6= 1-3/10= 6 целых 8/11- 4 целых 2/11= 2 целых 5/14+1 целая 9/14= 5 целых 6/7+3 целых 4/7= 4 целых 1/9- 1 целая 5/9= реши уровнене: 7-(х+1...

ssjjd

22.11.2022 16:19

1: длина первого прямоугольника равна с метров,а ширина d метров.длина второго прямоугольника составляет 2/9(-это дробь)длины первого,а ширина 3/10(-это дробь)ширины...

Lapka298

22.11.2022 16:19

Петя хочет разрезать прямоугольник 6*7 на квадраты с целыми сторонами. какое наименьшее число квадратов может при этом получиться? а) 4 б) 5 в) 7 г) 9 д) 42...

atchaschinovр

22.11.2022 16:19

879вычислите произведение: а) 1/2 * 4/5 *5/6 б)7/8*4/35*10/9 в) 5/16 *8/15*4/3 г) 42/56*16/5*15/36...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку