Обозначим s сумму цифр числа 14^{2017}. найдите остаток от деления числа 2s+1 на 6

Заметим, что сумма цифр числа даёт такой же остаток при делении на 3, что и само число.
14^2017 = (15 - 1)^2017 = 15A + (-1)^2017 = 15A - 1 даёт остаток 2 при делении на 3, значит, S имеет вид 3n + 2.
2S + 1 = 2(3s + 2) = 6s + 4 — даёт остаток 4 при делении на 6.