Войти Регистрация Спроси ai-bota

Докажите методом индукции 1/14+1/47++1/(3n-2)(3n+1)=n/3n+1

Ответ:

arzuaes

16.08.2020 14:58

$\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \dfrac{n}{3n+1}$
Имеем $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$ , Следовательно, утверждение верно при n=1.

Пусть утверждение справедливо для n=k, т.е.
$\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \dfrac{k}{3k+1}$

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что

$\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \dfrac{k+1}{3k+4}$

Или в самом деле
$\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)}+ \dfrac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\~~~~~~\dfrac{k}{3k+1}+\dfrac{1}{(3k+1)(3k+4)} =\dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\ ~~~~~~~~\dfrac{3k^2+4k+1}{(3k+1)(3k+4)} =\dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\~~~~~~~~~ \dfrac{(3k+1)(k+1)}{(3k+1)(3k+4)} =\dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\ \\~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{k+1}{3k+4}=\dfrac{k+1}{3k+4}$

На основании принципа математической индукции заключаем, что предпо-ложение истинно для любого n ∈ N.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Roguesquid

26.07.2022 11:58

Периметр треугольника 650 см длина одной стороны 220 см длина второй равна 85% от длины первой вычислите длину третьей стороны...

Супер1009

26.07.2022 11:58

Сколько минут состовляют три четверти часа ? сколько часов состовляют две третьих суток ? какую часть года составляет 1месяц? 4месяца?...

Karakatica44

26.07.2022 11:58

Как решить уравнение: 1/3x+1/4x-1/12x=5...

kuro4

26.07.2022 11:58

Четыре одинаковых трубы заполняют бассейн за 8 часов. за сколько часов заполнят бассейн 2 таких же трубы?...

Анькаymrf

26.07.2022 11:58

Составить условия первого класса про фигурное катание...

Alиска

26.07.2022 11:58

Два велосипедиста движутся на встречу друг другу. скорость первого 14 км/ч. скорость второго составляет 6/7 скорости первого. какое расстояние будет между через 0,8ч , если...

ученик1877

10.04.2022 23:07

Периметр равностороннего треугольника равен 64 дм 8 см.вычисли периметр квадрата с такой же длинной стороны. результат выразить в см и метрах...

XXXOtlichnikXXX

10.04.2022 23:07

Составьте в паскале квадрат и у него стороны цветные...

tekkenknigin

10.04.2022 23:07

Решение неравенства.7х+4(х-2) 6(1+3х)...

Anastasia9311

10.04.2022 23:07

Постройте замкнутую ломаную линию с 5 сторонами...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку