Решите дифференциальное уравнение y -5y +4y=e^3x - вопрос №8306241543 от GrootShkolnik 29.11.2022 07:42

Question

Математика: Решите дифференциальное уравнение y -5y +4y=e^3x

GrootShkolnik · Answer

, где

— общее решение однородного уравнения, а y_1(x)

— какое-то частное решение неоднородного.

Решаем однородное уравнение.
y_0''-5y_0'+4y_0=0

Характеристическое уравнение $\lambda^2-5\lambda+4=0$ имеет два различных вещественных корня $\lambda_1=1$ и $\lambda_2=4$ , поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид
$y_0(x)=Ae^{x}+Be^{4x},~A,B\in\mathbb R$

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде $y_1=Ce^{3x}$ . Подставляем это решение в уравнение:
$y_1''-5y_1'+4y_1=e^{3x}\\
9Ce^{3x}-5\cdot3Ce^{3x}+4Ce^{3x}=e^{3x}\\
9C-15C+4C=1\\
2C=-1\\
C=-\dfrac12\\
y_1(x)=-\dfrac12e^{3x}$

$y(x)=y_0(x)+y_1(x)=Ae^{x}+Be^{4x}-\dfrac12e^{3x}$

Решите дифференциальное уравнение y''-5y'+4y=e^3x