Каждый из трех квадратных трехчленов x2+p1x+q1, x2+p2x+q2 и x2+p3x+q3 имеет два различных корня, у любых двух трехчленов есть общий корень, а у всех трех трехчленов общего корня нет. докажите, что q1q2q3> 0

По теореме Виетта произведение корней указанных трехчленов с единицей при x^2 равно q.

Имеем 
x11*x12 = q1
x21*x22 = q2
x31*x32 = q3

Перемножаем все 
(x11*x12) * (x21*x22) * (x31*x32) = q1*q2*q3

по условию каждая из скобок имеет общий корень  xx1 xx2 xx3 и эти корни не равны. 
xx1^2 * xx2^2 * xx3^2 = q1*q2*q3
Левая часть больше 0 , как и произведение квадратов, значит и правая больше нуля. 
Случай с одним нулем из xx1 xx2 xx3 имеет место быть тогда произведение ноль , но неявно задано что q ненулевые.