Назовем две цифры близкими если они отличаются на 1, так же назовем близкими цифры 9 и 0. сколько существует различных десятизначных чисел, у которых любые две соседние цифры близкие,

8999999999 9000000000 ) только это вроде)

Воспользуемся формулой Хартли:
кол-во сочетаний= (сколько цифр в числе)^(близкие числа)
т.е.
число 10-значное, близкие числа могут быть
01 12 23 34 45 56 67 78 89 90: 10 близких чисел
10^10=10000000000 различных вариантов 10-значных чисел с близкими числами
ответ: 10^10 или 10000000000 вариантов