Как из одного выражения получилось другое? b^2 - x^2 = c^2 - (a - x)^2 и получилось так: b^2 - x^2 = c^2 - a^2 + 2ax - x^2 как? ?

Это называется формула сокращённого умножения. Если не понятно, как это работает, давайте разберём:
(a-x)^2 это (a-x)*(a-x) Давайте раскроем скобки: a*a-a*x-a*x+x*x=a^2-2ax+x^2.

B² - x² = c² - (a - x)²
левая часть осталась, а вот правая изменилась
рассмотрим правую часть 
с²-(a-x)²
раскроем (a-x)² по формуле квадрата разности 
(a-x)²=a²-2ax+x²
получаем 
с²-(a-x)²=с²-(a²-2ax+x²)=с²-a²+2ax-x²
b² - x²=с²-a²+2ax-x²