Можно ли между числами , вписанными в ряд от 1 до 2018, расставить знаки "+" и "-" так, чтобы сумма равнялась нулю?

Можно.
Для этого надо чередовать пары чисел так, чтобы при сложении  этой пары получалось чередование знаков + и -.
1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8  ... + 2015 - 2016 - 2017 + 2018 = 0.
   -1       +1       -1        +1    ...             -1                   +1       

Нет,т.к число возрастет и идёт ближе к меньшему