Леша не поленился вычислить сумму 9+99+999++}2017 и выписал ее на доску. сколько раз в итоговом результате записана цифра 1?

Прибавим к каждому числу единицу и вычтем единицу, скомбинировав так что сразу идут суммы (9+1)+(99+1)+(999+1)... и т .д. а в конце вычтем 2017 (сумма всех вычитаемых единиц)
Не трудно заметить что сумма
10+100+1000 и т.д. будет иметь 2017 единиц (в конце будет 0)
Теперь нам из полученного числа нужно вычесть 2017.  Разложим полученную сумму на две 111110 + оставшаяся часть и вычтем 2017 = 109093+оставшаяся часть, что на 4 единицы (кол-во цифр) меньше суммы (10+100+1000..) т.е. 2017-4=2013