Прямые a и b пересекаются. докажите, что существует прямая с, пересекающая каждую из двух данных прямых, но не лежащая с ними в одной плоскости плоскости.

По определению две пересекающиеся прямые образуют плоскость.
Третья прямая С либо лежит с ними в одной плоскости и тогда пересекает прямые a и b в разных точках, либо:
Находится в плоскости перпендикулярной плоскости ab и проходит через точку пересечения прямых a и b.

А теперь "на пальцах": рисуем на листочке 2 пересекающиеся прямые и протыкаем точку их пересечения карандашом, вот карандаш и будет прямой С.