Свыш матом. 1. исследовать на экстремум функцию: x^2+4y^2+2xy-4x+8y+1. 2. вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-1, y=-x+1

Ответ:

grasstv

06.10.2020 14:22

1. Найдем частные производные
$\displaystyle \left \{ {{ \frac{\partial z}{\partial x} =2x+2y-4=0} \atop {\frac{\partial z}{\partial y} = 8y+2x+8=0}} \right.$

Решив систему уравнений, получим

$\displaystyle \left \{ {{x=4} \atop {y=-2}} \right.$

Найдем частные производные второго порядка

$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=2;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\partial^2z}{\partial x^2} =2;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =8.$

Составим матрицу $\left(\begin{array}{ccc}2&2\\ 2&8\end{array}\right)$

$a_{11}=2\ \textgreater \ 0\\ a_{22}= \left|\begin{array}{ccc}2&2\\2&8\end{array}\right|=2\cdot8-2\cdot2\ \textgreater \ 0$

По критерию Сильвестра, точка M(4;-2) - точка минимума

Задание 2.
y=x^2-1

графиком функции является парабола, ветви направлены вверх.
y=-x+1

- прямая, проходящая через точки (0;1), (1;0)

Поскольку график функции y=-x+1 расположен выше чем график функции y=x^2-1

, то площадь фигуры будем искать следующим образом

$\displaystyle \int\limits^1_{-2} {(-x+1-(x^2-1))} \, dx =\int\limits^1_{-2} {(-x^2-x+2)} \, dx =\\ \\ \\ =\bigg(- \frac{x^3}{3}- \frac{x^2}{2}+2x\bigg)\bigg|^1_{-2} =-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2-\frac{8}{3}+2+4=4.5$

Свыш матом. 1. исследовать на экстремум функцию: x^2+4*y^2+2*xy-4*x+8*y+1. 2. вычислить площадь фигу