Дан треугольник abc и окружность, которая касается стороны ac и продолжений сторон ab и bc в точках b1 c1 a1 соответственно докажите что угл a1b1c1=90+1/2углаb

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
△A1B1B = △C1B1B (по двум сторонам и углу)
∠A1B1B = ∠C1B1B => ∠A1B1O = ∠C1B1O (углы, смежные с равными углами)
∠A1BO = ∠C1BO = 0,5∠ABC 

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
∠A1OB = 90 - ∠A1BO

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.
∠A1OB = U A1B1

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.
∠A1B1A = 0,5 U A1B1

∠A1B1O = 90 - ∠A1B1A = 90 - 0,5(90 - ∠A1BO) = 45 + 0,5 ∠A1BO
∠A1B1C1 = 2 ∠A1B1O = 90 + ∠A1BO = 90 + 0,5 ∠ABC