Плоскость закрашена в два цвета. доказать, что существуют две точки, закрашенный в один цвет и находящиеся на расстоянии 1 м

Принцип Дирихле. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1метр. Две из его вершин обязательно одного цвета.

Представь границу двух цветов плоскости 
построй  на ней правильный треугольник со стороной 1м
одна вершина принадлежит части окрашеной в один цвет , а две другие  части окрашенной в другой цвет (третьего цвета не дано), получится
что между двумя точками (вершинами ) одного цвета расстояние равно 1 м. Доказано.