Докажите, что если число а имеет остаток r1 при делении на m , а число b имеет остаток r2 при делении на m , то числа a+b и r1 + r2 имеют одинаковые остатки при делении на m . (аналогично докажите и для разности)

Это очень просто! a - r1 = x делится на m и b - r2 = y делится на m. их сумма делится на m: a - r1 + b - r2 = (a + b) - (r1 + r2) делится на m. Значит у них одинаковые остатки. А для разноти нужно рассмотреть разность: (a - b) - (r1 - r2) тоже делится на m