Двогранні кути вимірюються лінійним кутом, тобто кутом, утвореним перетином двогранного кута з площиною, перпендикулярною до його ребра.Отже, двогранний кут при основі піраміди дорівнює лінійному куті між висотою межі і її проекцією на основу. Ця проекція - відрізок, що з'єднує точку Про, в яку проектується висота піраміди на основу піраміди. Раз всі двогранні кути рівні, отже, рівні і ці відрізки і ми довели пункт б). Рівність цих проекцій доводить, що точка О рівновіддалена від сторін трикутника. Це означає, що точка О - центр вписаного кола в основу трикутника, тобто доведений пункт а).Знайдемо довжину проекції на площину підстави висот бічних граней, проведених з вершини піраміди, або, як ми довели, радіус вписаного в основу піраміди колу. У равнобедренном трикутнику АВС ВН - його висота, АН=НС=а/2.Тоді АВ=АН/cos α або AB=a/(2Cosα). BH=AB*Sinα або BH=a*Sinα/(2Cosα)=(а/2)*tgα. Sabc=(1/2)*AC*BH або Sabc=(а/2)*(а/2)*tgα=(а2/4)*tgα.Є формула площі трикутника: S=p*r, де р - півпериметр, r - радіус вписаного кола. Тоді r=S/p чи r=[(а2/4)*tgα]/p. p=2*AB+AC. Або р=2*a/(2Cosα)+а=a/cos α+а=а((1/cos α)+1)=(а*(1+cos α))/cos α.r=[(а2/4)*tgα]/[(а*(1+cos α))/cos α] або r=a*Sinα/[4(1+cos α)].Відповідь: r=a*Sinα/[4(1+cos α)].
