Выведем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой х0. Для наглядности используем график из предыдущего урока 10.3. («Определение производной. Геометрический смысл производной») и выведем уравнение касательной МТ.
Так как точку М мы взяли произвольно, то должны получить уравнение касательной, которое будет справедливо для любой функции y=f (x), имеющей касательную в определенной точке с абсциссой х0.
Итак, любую прямую можно записать в виде y=kx+b, где k — угловой коэффициент прямой. Мы теперь знаем, что в качестве углового коэффициента можно взять f '(х0) — значение производной функции y=f (x) в точке с абсциссой х0. Эта точка является общей точкой для функции и для касательной МТ.
Таким образом, касательная МТ имеет вид: y=f '(х0)·x+b. Осталось определить значение b. Это мы сделаем просто: подставим координаты точки М в последнее равенство, т.е. вместо х запишем х0, а вместо у подставим f (х0). Получаем равенство:
f (х0) =f '(х0)·х0+b.
Отсюда b=f (х0) - f '(х0)·х0. Подставляем это значение b в равенство: y=f '(х0)·x+b. Тогда:
y =f '(х0)·х+f (х0) - f '(х0)·х0. Упростим.
y=f (х0)+(f '(х0)·х - f '(х0)·х0) или
y=f (х0)+f '(х0)(х - х0). Это и есть искомое уравнение касательной МТ.
Так как точку М мы взяли произвольно, то должны получить уравнение касательной, которое будет справедливо для любой функции y=f (x), имеющей касательную в определенной точке с абсциссой х0.
Итак, любую прямую можно записать в виде y=kx+b, где k — угловой коэффициент прямой. Мы теперь знаем, что в качестве углового коэффициента можно взять f '(х0) — значение производной функции y=f (x) в точке с абсциссой х0. Эта точка является общей точкой для функции и для касательной МТ.
Таким образом, касательная МТ имеет вид: y=f '(х0)·x+b. Осталось определить значение b. Это мы сделаем просто: подставим координаты точки М в последнее равенство, т.е. вместо х запишем х0, а вместо у подставим f (х0). Получаем равенство:
f (х0) =f '(х0)·х0+b.
Отсюда b=f (х0) - f '(х0)·х0. Подставляем это значение b в равенство: y=f '(х0)·x+b. Тогда:
y =f '(х0)·х+f (х0) - f '(х0)·х0. Упростим.
y=f (х0)+(f '(х0)·х - f '(х0)·х0) или
y=f (х0)+f '(х0)(х - х0). Это и есть искомое уравнение касательной МТ.