Теорема 1. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть ABC и А1В1С1А1В1С1 — треугольники, у которых ∠A=∠A1;∠B=∠B1∠A=∠A1;∠B=∠B1, и, следовательно, ∠C=∠C1∠C=∠C1 . Докажем, что △ABC∼△A1B1C1△ABC∼△A1B1C1 (рис. 1).
Отложим на ВА от точки В отрезок ВА2ВА2, равный отрезку A1B1A1B1, и через точку А2А2 проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке С2С2 . Треугольники А1В1С1 и А2ВС2А1В1С1 и А2ВС2 равны: А1В1=А2ВА1В1=А2В по построению, ∠В=∠В1∠В=∠В1 по условию и ∠А1=∠А2∠А1=∠А2, так как ∠А1=∠А∠А1=∠А по условию и ∠А=∠А2∠А=∠А2 как соответственные углы. По лемме 1 о подобных треугольниках имеем: △A2BC2∼△ABC△A2BC2∼△ABC, и значит, △ABC∼△A1B1C1△ABC∼△A1B1C1 . Теорема доказана.
Доказательство. Пусть ABC и А1В1С1А1В1С1 — треугольники, у которых ∠A=∠A1;∠B=∠B1∠A=∠A1;∠B=∠B1, и, следовательно, ∠C=∠C1∠C=∠C1 . Докажем, что △ABC∼△A1B1C1△ABC∼△A1B1C1 (рис. 1).
Отложим на ВА от точки В отрезок ВА2ВА2, равный отрезку A1B1A1B1, и через точку А2А2 проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке С2С2 . Треугольники А1В1С1 и А2ВС2А1В1С1 и А2ВС2 равны: А1В1=А2ВА1В1=А2В по построению, ∠В=∠В1∠В=∠В1 по условию и ∠А1=∠А2∠А1=∠А2, так как ∠А1=∠А∠А1=∠А по условию и ∠А=∠А2∠А=∠А2 как соответственные углы. По лемме 1 о подобных треугольниках имеем: △A2BC2∼△ABC△A2BC2∼△ABC, и значит, △ABC∼△A1B1C1△ABC∼△A1B1C1 . Теорема доказана.