Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти предел
$\lim_{x\to\infty}x^{\alpha}b(x,\alpha)$
если
$\alpha > 0$

Ответ:

lera1066

05.10.2020 08:20

$\Gamma(\alpha)$

Пошаговое объяснение:

Определение бета-функции:

$\displaystyle B(a,b)=\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt$

Подставляем:

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\int_0^1x^\alpha t^{x-1}(1-t)^{\alpha-1}\,dt=\dots$

Делаем замену $t=u^{1/x}$ :

$\displaystyle\dots=\lim_{x\to\infty}\int_0^1x^\alpha u^{1-1/x}(1-u^{1/x})^{\alpha-1}\frac{u^{1/x}\,du}{ux}=\\=\lim_{x\to\infty}\int_0^1\left[x(1-u^{1/x})\right]^{\alpha-1}\,du=\int_0^1\left[\lim_{x\to\infty}\frac{1-u^{1/x}}{1/x}\right]^{a-1}du=\dots$

Посмотрим на предел поближе:

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1-u^{1/x}}{1/x}\right=\lim_{y\to+0}\frac{1-e^{y\ln u}}{y}=-\ln u$

Вносить предел под знак интегрирования было можно: легко проверить, что при убывании y функция под знаком предела монотонно стремится к предельной функции, которая непрерывна на (0, 1).

Осталось сделать замену $u=e^{-v}$ и получится определение гамма-функции:

$\displaystyle\dots=\int_0^1\left[-\ln u\right]^{a-1}du=\int_0^\infty v^{a-1}e^{-v}\,dv$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

zild228

01.03.2020 14:43

При ккких натуральных значениях у неравенства 5 7/9 y/9 6 3/9 верно?...

arinadamnyanova

07.06.2022 12:09

1. Яка з наведених точок належить площині уz? а) М(0;6;2); б) К(9;3;-9); в) Р(3;0;0); г)С(5;0;9); д) В(4;-5;0). 2. Яка з точок є серединою відрізка АВ, якщо А(6;-2;8),...

nikitasemechka

17.07.2021 07:32

1.Представь число 54 в виде суммы разрядных слагаемых. Сор А) 40+14 Б)50+4 В) 49+5 2.Разность чисел 54 и 28 равна А) 82 Б) 26 В)56 3. Частое чисел 24 и 6 равно А)...

misspsix123

13.03.2022 18:58

Отношение а: b равно 8: 9. найдите отношение 9а: 4b....

мппьга

13.03.2022 18:58

Вбуфете тарелок было в 4 раза больше , чем на столе . когда на стол поставили 12 новых тарелок ,в буфете и на столе тарелок стало поровну . сколько тарелок было...

123love321

13.03.2022 18:58

Вдетском мире продавали двухколесные и трехколесные велосипеды миша пересчитал все рули и все колеса получилось 12 и 27 колес сколько трёхколёсных велосипедов продавали...

warfrsm

13.03.2022 18:58

да 30 катя и коля живут в одном доме. из дома в школу вышла катя со скоростью 75м/мин . через 7 мин следом за ней вышел коля со скоростью 100м/мин и пришел в школу...

алоал

13.03.2022 18:58

Какие числа чётные а какие не чётные...

BinoKLI

15.03.2022 04:43

На пол комнаты длиной 8 м и шириной 5 м положили ковёр длиной 6 м и шириной 4 м. какая площадь пола осталась непокрытой?...

nauryzbekova

15.03.2022 04:43

Проиводительность старого станка 100 дет/ч нового 300 дет/ч на сколько меньше времени будет затрачено на изготовление 2700 деталей на новом станке...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку