Найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x; y)=13x+11y-xy-x^2-y^2 в области , ограниченной линиями x=0, x=4,y=0,y=4

Пусть в данной функции x будет аргументом, а y — параметром:

Это парабола, ветви направлены вниз. Её вершина . Так как , . То есть при функция возрастает при любом допустимом y.

Тогда максимальное значение достигается при x = 4. Подставим это значение в исходную функцию:

Это парабола, ветви направлены вниз. Её максимальное значение достигается в её вершине: . Тогда максимальное значение всей функции при заданных ограничениях достигается в точке (4; 3,5) и равно 48,25.

Минимальное значение достигается при x = 0. Аналогично получаем .

Это парабола, ветви направлены вниз. Так как её вершина , при заданных y функция возрастает. Её наименьшее значение достигается при y = 0. Значит, наименьшее значение всей функции при заданных ограничениях достигается в точке (0; 0) и равно нулю.

ответ: наибольшее — 48,25; наименьшее — 0.