Очевидно, sin54 - sin18 = 2cos36sin18. Но sin18 можно определить, пользуясь теоремой: хорда равна диаметру круга, умноженному на синус половины дуги, стягиваемой этой хордой. Если за хорду взять сторону правильного вписанного десятиугольника, то A10 = 2R*sin18, откуда sin18 = A10/2R. Из геометрии известно, что A10 = R(sqrt(5)-1)/2. Таким образом, sin18 = (sqrt(5)-1)/4. Теперь можно вычислить cos36 = 1-2sin18*sin18 = (sqrt(5)+1)/4. Ну, а теперь, очевидно, 2cos36sin18 = 2[(sqrt(5)-1)/4]*[(sqrt(5)+1)/4] = 1/2, ч.т.д.
Можно было бы обойтись без вычисления sin18 и получить результат значительно более коротким, но зато и более искусственным приемом, а именно: 2cos36sin18 умножим и разделим на cos18.
2cos36sin18cos18/cos18 = cos36sin36/cos18 = sin72/2cos18. Теперь осталось только заметить, что sin72 = cos18 и получить ожидаемый результат 1/2.
Но sin18 можно определить, пользуясь теоремой:
хорда равна диаметру круга, умноженному на синус
половины дуги, стягиваемой этой хордой.
Если за хорду взять сторону правильного вписанного десятиугольника, то A10 = 2R*sin18, откуда sin18 = A10/2R.
Из геометрии известно, что A10 = R(sqrt(5)-1)/2.
Таким образом, sin18 = (sqrt(5)-1)/4.
Теперь можно вычислить
cos36 = 1-2sin18*sin18 = (sqrt(5)+1)/4.
Ну, а теперь, очевидно,
2cos36sin18 = 2[(sqrt(5)-1)/4]*[(sqrt(5)+1)/4] = 1/2,
ч.т.д.
Можно было бы обойтись без вычисления sin18 и получить результат значительно более коротким, но зато и более искусственным приемом, а именно:
2cos36sin18 умножим и разделим на cos18.
2cos36sin18cos18/cos18 = cos36sin36/cos18 = sin72/2cos18. Теперь осталось только заметить, что sin72 = cos18 и получить ожидаемый результат 1/2.