Решите систему уравнений 1/x-1/y=1/12 2х-у=18

Пппррггпр огоипоооронггшшшщ

Давайте начнем с первого уравнения системы:

1/x - 1/y = 1/12

Мы можем убрать знаменатель, умножив обе части уравнения на 12xy:

12y - 12x = xy

Далее, перенесем все члены на одну сторону уравнения:

xy - 12x - 12y = 0

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

2x - y = 18

Мы можем выразить y через x, добавив x к обеим сторонам уравнения:

y = 2x - 18

Теперь заменим y в первом уравнении вторым уравнением:

xy - 12x - 12(2x - 18) = 0

Упростим уравнение:

xy - 12x - 24x + 216 = 0

Теперь объединим члены с x:

xy - 36x + 216 = 0

Продолжим решение, выразив одну переменную через другую:

y = (36x - 216) / x

Теперь заменим y в оригинальном уравнении:

1/x - 1/((36x - 216) / x) = 1/12

Делаем замену, сохраняя величину правой части уравнения:

1/x - x / (36x - 216) = 1/12

Далее, умножим все члены уравнения на 12x(36x - 216) чтобы избавиться от знаменателей:

12(36x - 216) - 12x^2 = x(36x - 216)

Упростим:

432x - 2592 - 12x^2 = 36x^2 - 216x

Упорядочим члены и перенесем все на одну сторону уравнения:

12x^2 + 216x - 36x^2 + 216x - 432x + 2592 = 0

-24x^2 + 648x - 432 = 0

Теперь используем квадратное уравнение для решения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = -24, b = 648 и c = -432.

Подставим значения и решим:

x = (-648 ± √(648^2 - 4(-24)(-432))) / (2(-24))

x = (-648 ± √(419904 - 41472)) / (-48)

x = (-648 ± √(378432)) / (-48)

x = (-648 ± 616) / (-48)

После упрощения:

x = (-648 + 616) / (-48) = -32 / (-48) = 2/3

или

x = (-648 - 616) / (-48) = -1264 / (-48) = 26 1/3

Теперь, чтобы найти значения y, подставим значения x во второе уравнение:

y = 2(2/3) - 18 = 4/3 - 18 = -50/3

или

y = 2(26 1/3) - 18 = 52 2/3 - 18 = 34 2/3

Итак, система уравнений имеет два решения: (2/3, -50/3) и (26 1/3, 34 2/3).