Можно ли расставить целые числа на гранях куба таким образом, чтобы сумма любых двух чисел на соседних гранях была нечетным числом

Нет, нельзя. Рассмотрим три грани куба, каждая из которых смежна с двумя другими. Среди чисел на этих гранях есть либо два четных, либо два нечетных. Выберем два числа одинаковой четности, находящиеся на соседних гранях. Их сумма равна четному числу, что противоречит условию задачи.