Кокружности с центром в точке o проведены из точки b касательные ba и bc (точки а и с - точки касания). окружность пересекает отрезок ob в точке т, угол атс = 120 градусов. докажите, что точка т является точкой пересечения биссектрис треугольника авс.

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Значит отрезки
ВА = ВС, углы ∠ОВА = ∠ОВС, следовательно треугольник АВС равнобедренный и отрезок ВТ является биссектрисой ∠АВС
Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки равен 180° минус величина заключённой внутри него дуги, меньшей полуокружности. Угол АТС вписанный, значит его величина равна половине центрального угла на который он опирается, а опирается он на угол 2*120°=240°, следовательно величина дуги АВ между касательными равна
360°-240°=120°.
Отсюда угол между касательными 
∠АВС = 180° - 120° = 60°
А так как ΔАВС равнобедренный, то 
∠ВАС = ∠ВСА = (180°-60°)/2=60°
то есть ΔАВС равносторонний, так как у него все углы равны.
ΔАТС - равнобедренный, так как находится внутри ΔАВС и вершина Т лежит на отрезке ОВ. Обозначим точку пересечения АС и ОВ как Р, тогда ΔАТР = ΔСТР - прямоугольные и ∠АТР = ∠СТР = 120°:2=60° ⇒ ∠ТАР = ∠ТСА = 30°, то есть половине углов ВАС и ВСА, следовательно АТ и СТ биссектрисы углов ВАС и ВСА.