1) Проверяем правильность утверждения при малых n. n=1: 1=1² - верно n=2: 1+3=2² - верно n=3: 1+3+5=3² - верно 2) Предположим, что утверждение верно для n=k. Тогда справедливо равенство 1+3+5++(2k-1)=k². 3) Докажем, что утверждение верно и для n=k+1. Слева и справа добавим по 2(k+1)-1: Получим 1+3+5++(2k-1)+(2(k+1)-1)=k²+2(k+1)-1 Преобразуем правую часть. k²+2(k+1)-1=k²+2k+1=(k+1)². Таким образом, из того, что 1+3+5++(2k-1)=k², следует то, что 1+3+5++(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)² - верно для n=k+1.
n=1: 1=1² - верно
n=2: 1+3=2² - верно
n=3: 1+3+5=3² - верно
2) Предположим, что утверждение верно для n=k.
Тогда справедливо равенство 1+3+5++(2k-1)=k².
3) Докажем, что утверждение верно и для n=k+1.
Слева и справа добавим по 2(k+1)-1:
Получим 1+3+5++(2k-1)+(2(k+1)-1)=k²+2(k+1)-1
Преобразуем правую часть.
k²+2(k+1)-1=k²+2k+1=(k+1)².
Таким образом, из того, что 1+3+5++(2k-1)=k², следует то, что
1+3+5++(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)² - верно для n=k+1.