Втреугольнике авс ас=4√3, вс=12, угол с=90 гр. окружность проходит через вершины а и с треугольника и пересекает гипотенузу в точке к так, что ак: кв=3: 1. найти радиус окружности.

Гипотенуза АВ равна √((4√3)²+12²) = √(48+144) = √192 =8√3.
Тангенс угла А равен 12/4√3 = 3/√3 = √3.
Угол А равен arc tg√3 = 60°.
Отрезок АК = (8√3)*(3/4) = 6√3.
По теореме косинусов находим длину СК:
СК = √((4√3)²+(6√3)²-2*(4√3)*(6√3)*cos60°) = √(48+108-72) = √84 = 2√21.
Радиус окружности, проходящей через точки А, С и К - это радиус описанной окружности около треугольника АСК.
R = a/(2sinA) = 2√21/(2*sin60°) = 2√21/(2*(√3/2)) = 2√7 ≈  5.2915026.