Доказать что сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника больше, чем половина периметра этого четырёхугольника

Пусть четырехугольник АВСD, диагонали АС и ВD. Точка пересечения диагоналей О.
АO+OB>  AB
BO+OC>  BC
CO+OD>  CD
AO+OD>  AD
Складывая все 4 неравенства, получаем
2*(АС+ВD)>(AB+BC+CD+AD)
или
(АС+ВD)>(AB+BC+CD+AD)/2
что и требуется.