Математика: Полное исследование функции и ее график f(x)=x- корень из x

Полное исследование функции и ее график f(x)=x- корень из x

Ответ:

dariyaomelchen

31.07.2020 23:52

$y=f(x)=x-\sqrt{x}. \\ 
1) \ x\geq0, \\ D_y=[0;+\infty); \\ 2) \ y=x-\sqrt{x}, \\ x-\sqrt{x}=y, \\ x-2\cdot\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=y, \\ (\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2=y+\frac{1}{4}, \\ \sqrt{x}-\frac{1}{2}=\sqrt{y+\frac{1}{4}}, \\ \sqrt{x}=\sqrt{y+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}, \\ x=(\sqrt{y+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2; \\ y+\frac{1}{4}\geq0, \\ y\geq-\frac{1}{4}, \\ E_y=[-\frac{1}{4};+\infty);$
$3) \$ функция общего вида (ни четная, ни нечетная), т.к. Dy - не симметрична.
$4) \ x=0, \ f(0)=0-0=0, \\ y=0, \ x-\sqrt{x}=0, \\ \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)=0, \\ \left [ {{\sqrt{x}=0,} \atop {\sqrt{x}=1;}} \right. \left [ {{x=0,} \atop {x=1;}} \right. \\ (0;0), \ (1;0); \\ 5) \ \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)\lessgtr0, \\ \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)\lessgtr0, \\ 0\ \textless \ x\ \textless \ 1, \ y\ \textless \ 0, \\ x\ \textgreater \ 1, \ y\ \textgreater \ 0;$
$6) \ f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}, \\ x\neq0, \\ f'(x)=0, \ 1+\frac{1}{2\sqrt{x}}=0, \\ 2\sqrt{x}+1=0, \\ \sqrt{x}=-\frac{1}{2}, \\ x=\frac{1}{4}; \\ 1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\lessgtr0, \\ 0\ \textless \ x\ \textless \ \frac{1}{4}, \ f'(x)\ \textless \ 0, \ y\searrow, \\ x\ \textgreater \ \frac{1}{4}, \ f'(x)\ \textgreater \ 0, \ y\nearrow, \\ 7) \ x_{min}=\frac{1}{4}, \\ y_{min}=f(\frac{1}{4})=\frac{1}{4}-\sqrt{\frac{1}{4}}=-\frac{1}{4}, \\ (\frac{1}{4};-\frac{1}{4}) - min; \\$
$8) \ f''(x)=-\frac{1}{4\sqrt{x^3}}, \\ x\neq0, \\ -\frac{1}{4\sqrt{x^3}}\lessgtr0, \\ x\in D_y, \ f''(x)\ \textless \ 0, \ f(x)\smallsmile;$
$9) x=0, \ f(0)=0, \\ \lim\limits_{x\to0+0}(x-\sqrt{x})=0, \\ \lim\limits_{x\to0-0}(x-\sqrt{x})\in\varnothing,$

Полное исследование функции и ее график f(x)=x- корень из x