Существует ли треугольник каждый угол которого меньше 60 градусов

Нет. Свойство треугольника такое: сумма углов треугольника равна 180 гр. В треугольнике может быть три угла по 60 градусов. Если один из них уменьшается, то другой, соответственно, увеличивается.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Если бы все углы были бы меньше 60 градусов то их сумма была бы меньше 180 градусов, что невозможно.
ответ: нет не существует.