Решите уравнения a ) √3sinx+cosx=√2 б)sin x-√3cosx=1 - вопрос №48265013231 от GBNMK 23.01.2022 11:54

Question

Математика: Решите уравнения a ) √3sinx+cosx=√2 б)sin x-√3cosx=1

GBNMK · Answer

Уравнения вида
a·sinx+b·cosx=c
решают методом введения вс аргумента
делением обеих частей уравнения на √(a²+b²)
а) √3sinx+cosx=√2

Делим обе части уравнения на √(3+1)=2

√3/2·sinx + 1/2·cosx=√2/2
Заменяем
√3/2= sin π/3
1/2=cosπ/3
sin (π/3)·sinx + cos(π/3)·cosx=√2/2
Получаем слева формулу косинуса разности
cos(x-(π/3))=√2/2
$x- \frac{ \pi }{3} =\pm \frac{ \pi }{4} +2 \pi k,k\in Z \\ \\ x= \frac{ \pi }{3} \pm \frac{ \pi }{4} +2 \pi k,k\in Z$

б)sin x-√3cosx=1
Делим обе части уравнения на 2
1/2·sinx - √3/2·cosx=1/2
sin(π/6)·sinx-cos(π/6)·cosx=1/2
-cos(x-(π/6))=1/2
cos(x-(π/6))=-1/2

$x- \frac{ \pi }{6} =\pm ( \pi -\frac{ \pi }{3} )+2 \pi k,k\in Z \\ \\ x= \frac{ \pi }{6} \pm \frac{2 \pi }{3} +2 \pi k,k\in Z$