Дан пятиугольник со сторонами (в некотором порядке) 1; 2; 5; 6; 7. докажите, что в этот пятиугольник нельзя вписать окружность.

Допустим, что можно, тогда для конкретного случая окружность касается каждой стороны, 1 и двух соседних, зная, что вписанная в угол окружность отсекает равные отрезки получаем, что сторону в семь УсловныхЕдиниц
отсекается отрезок меньше единицы, значит второй отрезок у 7УЕ должен быть больше 6, 
для остальных вариантов доказываем по аналогии через отрезок в 1УЕ
она в любом случае касается 5, 6 или 7УЕ, из этого следует...через равные отрезки все нормально выходит