Войти Регистрация Спроси ai-bota

Сумма кубов первых n натуральных чисел

Ответ:

n254n

16.09.2020 20:47

$1^4=(0+1)^4=0^4+4*0^3+6*0^2+4*0+1\\ 2^4=(1+1)^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1\\ ...\\ (n+1)^4=(n+1)^4=n^4+4*n^3+6*n^2+4*n+1$

Складывая равенства, получим:

$(1^4+2^4+...+n^4)+(n+1)^4=(1^4+2^4+...+n^4)+4*(1^3+2^3+...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+...+n)+1*(n+1)\\ (n+1)^4=4*(1^3+2^3+...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+...+n)+n+1\\ 1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{(n+1)^4-6*(1^2+2^2+...+n^2)-4*(1+2+...+n)-n-1}{4}$

Используя формулы

$1+2+...+n=\dfrac{(n+1)n}{2}\\ 1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

получим:

$1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{(n+1)^4-6*\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4*\dfrac{(n+1)n}{2}-n-1}{4}=\\\dfrac{(n+1)^4-n(n+1)(2n+1)-2(n+1)n-n-1}{4}=\\ \dfrac{(n+1)^4-(n+1)(n(2n+1)+2n+1)}{4}=\dfrac{(n+1)^4-(n+1)(2n+1)(n+1)}{4}=\dfrac{(n+1)^2((n+1)^2-(2n+1))}{4}=\dfrac{(n+1)^2(n^2+2n+1-(2n+1))}{4}=\dfrac{(n+1)^2n^2}{4}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

fotoschoolio

15.10.2020 13:14

Найдите нок знаменателей дробей 11/20 и 24/25...

kolombiachka7800

15.10.2020 13:14

Найти нод и 54 , 232 и 728 , 411 и 25 , 29 и 78...

кира6371929648

15.10.2020 13:14

Выразить 3/4ч=? мин,5/6мин=? с,5/12года=? мес....

Simpleton1

15.10.2020 13:14

59 сут.= нед. сут. сколько в 59 сутках недель и сутках?...

nura20061

15.10.2020 13:14

Мне. найди длину стороны пятиугольника, периметр которого 20см. их размеры: 2 см, 3 см,6см, 4 см, а пятый вопрос стоит...

lilya14kiev

15.10.2020 13:14

Запишите все числа от 694 до 707 в том порядке,в котором их называют при счете: , , , , , , , , , , , ....

nurayhasanova2oztngy

15.10.2020 13:14

2, 45 умножить скобка открывается m минус 8, 8 скобка закрывается равно 4, 41...

artemts242

15.10.2020 13:14

На вопрос о том сколько ей лет катя ответила так. через 3 месяца мне будет 9 лет . найди возраст кати . каким будут возраст кати через год ....

ErmolinVI

15.10.2020 13:14

В14часов 16сентября из москвы в южно-сахалинск вылетел самолет.летел 9часов .во сколько и какого числа самолет пррлетитт...

danilpus2016

15.10.2020 13:14

7единиц 3 класса и 80 единиц 2 класса это !...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку