Математика: Решите систему уравнений: 3x² -xy=16 x²+4xy+y²=-8

Решите систему уравнений: 3x² -xy=16 x²+4xy+y²=-8

Ответ:

maezsa

02.10.2020 22:29

{ xy = 3x^2 - 16
{ x^2 + 4xy + y^2 = -8
2 уравнение можно переписать так
x^2 + 2xy + y^2 + 2xy = -8
(x + y)^2 = -8 - 2xy = -2(4 + xy)
Слева число неотрицательное, значит
4 + xy <= 0
xy <= -4; значит, х и у имеют разные знаки.
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
x^2 + 12x^2 - 64 + y^2 = -8
13x^2 + y^2 = 64 - 8 = 56
y^2 = 56 - 13x^2
Здесь два случая
1) y1 = -√(56 - 13x^2) <= 0; тогда x >= 0
Подставляем в 1 уравнение
-x√(56 - 13x^2) = 3x^2 - 16
x√(56 - 13x^2) = 16 - 3x^2
Возводим в квадрат
x^2*( 56 - 13x^2 ) = (16 - 3x^2)^2
Замена x^2 = t >= 0 при любом х
t(56 - 13t) = (16 - 3t)^2
56t - 13t^2 = 256 - 96t + 9t^2
22t^2 - 152t + 256 = 0
D/4 = 76^2 - 22*256 = 5776 - 5632 = 144 = 12^2
t1 = (76 - 12)/22 = 64/22 = 32/11;
x1 = √(32/11); y1 = -√(56 - 13x^2) = -√(56 - 13*32/11) = -√(200/11)
t2 = (76 + 12)/22 = 88/22 = 4
x2 = 2; y2 = -√(56 - 13x^2) = -√(56 - 13*4) = -√(56 - 52) = -2
2) y2 = √(56 - 13x^2) >= 0; тогда x <= 0
Подставляем в 1 уравнение
x√(56 - 13x^2) = 3x^2 - 16
Возводим в квадрат
x^2*( 56 - 13x^2 ) = (3x^2 - 16)^2
Замена x^2 = t >= 0 при любом х
t(56 - 13t) = (3t - 16)^2
56t - 13t^2 = 256 - 96t + 9t^2
22t^2 - 152t + 256 = 0
D/4 = 76^2 - 22*256 = 5776 - 5632 = 144 = 12^2
t1 = (76 - 12)/22 = 64/22 = 32/11;
x1 = -√(32/11); y1 = √(56 - 13x^2) = √(56 - 13*32/11) = √(200/11)
t2 = (76 + 12)/22 = 88/22 = 4
x2 = -2; y2 = √(56 - 13x^2) = √(56 - 13*4) = √(56 - 52) = 2
ответ:
x1 = √(32/11); y1 = -√(200/11)
x2 = 2; y2 = -2
x3 = -√(32/11); y3 = √(200/11)
x4 = -2; y4 = 2

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика