Исследуйте функцию с производной f(x)=1-3x^3-x^3 и постройте ее график

f(x)=1-3x^2-x^3 и постройте ее график

Дана функция

Полное исследование функций по схеме:

1. Область определения функции - ограничений нет, x ∈ Z.

2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты.

Разрывов функции и асимптот нет.

3. Точки пересечения функции с осями координат.

С осью Оу при х =0,у = 1.

С осью Ох надо решить кубическое уравнение  1 - 3х² - х³ = 0.

Для вычисления корней кубического уравнения используется тригонометрическая формула Виета, которая работает для уравнений вида:  x³ + ax² + bx + c = 0.  В нашем случае a = 3, b = 0 и c = −1.

Используются специальные формулы, подставив в которые наши числа, получим:

x1  = −2.8794; x2  = 0.5321; x3  = −0.6527.

4. Четность, нечетность - функция общего вида.

5. Периодичность - нет.

6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.

Производная равна y' = -6x - 3x² = -3x(2 + x) = 0.

Отсюда имеем 2 критические точки: х = 0 и х = -2.

Находим знаки производной на полученных промежутках:

x = -3 -2 -1 0 1

y' =  -9 0 3 0 -9 .

В точке х = -2 минимум (переход с - на +), у = -3.

В точке х = 0 максимум (переход с + на -), у= 1.

Функция возрастает на промежутке (-2;0).

Убывает на промежутках (-∞; -2) ∪ (0; +∞).

7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

Вторая производная равна y'' = -6 - 6x = -6(1 + x) = 0.

Перегиб в точке х = -1, у = -1.

8. Наклонные асимптоты - нет.

9. Построение графика по точкам:

x y

-3.5 7.13

-3.0 1

-2.5 -2.12

-2.0 -3

-1.5 -2.37

-1.0 -1

-0.5 0.38

0 1

0.5 0.13

1.0 -3

1.5 -9.12

2.0 -19

2.5 -33.37

Пошаговое объяснение: