Вправильной четырехугольной призме авсда1в1с1д1, стороны основания которой равны 6, а боковые ребра равны 3. найдите угол между прямой ав1 и плоскостью вдд1
Точка пересечения диагоналей АС и ВД квадрата - точка О, а А1С1 пересекается с В1Д1 в т очке О1. АС перпендикулярна ВД ---> АО перпендик. ВД Є пл. ВДД1В1 . ОО1 перпендик плоскости АВСД, т.к. ОО1 параллельна ВВ1, а ВВ1 перпендик. пл. основания, причем ОО1 Є пл. ВДД1 (то есть пл. ВДД1В1 ). Значит , ОО1, лежащая в пл. ВДД1, перпендикулярна АО ---> АО перпенд. двум пересекающимся прямым плоскости ВДД1 ---> AO перпендик. пл. ВДД1. ---> В1О - проекция АВ1 на пл ВДД1. Искомый угол между АВ1 и пл. ВДД1 - это <AB1O. Диагональ квадрата по теореме Пифагора ВД=6√2. ВО=1/2*ВД=3√2 , ВВ1=3. В1О²=ВВ1²+ВО²=9+9*2=27 , В1О=3√3 . АВ1²=АВ²+ВВ1²=36+9=45 , АВ1=3√5 . cos<AB1O=B1O/AB1=(3√3)/(3√5)=√(3/5) . <AB1O=arccos√(3/5) .
АС перпендикулярна ВД ---> АО перпендик. ВД Є пл. ВДД1В1 .
ОО1 перпендик плоскости АВСД, т.к. ОО1 параллельна ВВ1, а ВВ1 перпендик. пл. основания, причем ОО1 Є пл. ВДД1 (то есть пл. ВДД1В1 ).
Значит , ОО1, лежащая в пл. ВДД1, перпендикулярна АО --->
АО перпенд. двум пересекающимся прямым плоскости ВДД1 --->
AO перпендик. пл. ВДД1. --->
В1О - проекция АВ1 на пл ВДД1.
Искомый угол между АВ1 и пл. ВДД1 - это <AB1O.
Диагональ квадрата по теореме Пифагора ВД=6√2.
ВО=1/2*ВД=3√2 , ВВ1=3.
В1О²=ВВ1²+ВО²=9+9*2=27 , В1О=3√3 .
АВ1²=АВ²+ВВ1²=36+9=45 , АВ1=3√5 .
cos<AB1O=B1O/AB1=(3√3)/(3√5)=√(3/5) .
<AB1O=arccos√(3/5) .