X1, x2, x3, x4, x5 — положительные числа. какое наименьшее - вопрос №409621712345 от Liza81818191 01.09.2020 13:52

Question

Математика: X1, x2, x3, x4, x5 — положительные числа. какое наименьшее значение может принимать выражение: sqrt[5]{ x1x2x3x4x5} * (1/x1 +1/x2 +1/x3 +1/x4+ 1/x5)

Liza81818191 · Answer

Можно воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для чисел 1/x₁, 1/x₂, 1/x₃, 1/x₄, 1/x₅. А именно,
$(1/x_1+1/x_2+1/x_3+1/x_4+1/x_5)/5\ge \sqrt[5]{1/(x_1x_2x_3x_4x_5)}.$ Отсюда выражение из условия всегда не меньше 5, и ясно, что 5 достигается при x₁=x₂=x₃=x₄=x₅.