Вычислить неопределённый интеграл методом неопределенных коэффициентов, подробно. 13/(х^2+4)(x+3)dx

13/((x^2 + 4)(x+3))
Убеждаемся, что знаменатель разложить на более "мелкие" множители мы уже не можем:
x^2 + 4 =0 - корней нет, значит, разложить на множители не получится

(A*x + B)/(x^2 + 4) + C/(x+3) = 13/((x^2 + 4)(x+3)) - представляем нашу дробь в виде суммы таких дробей. Приводим к более наглядному виду:
(А*x^2 + 3A*x + B*x + 3B + C*x^2 + 4C) = 13. Знаменатели опустил, т.к. они одинаковые и очевидные.
Составляем простенькую систему уравнений, приравнивая коэффициенты перед соответствующими степенями:
A + C = 0
3A + B = 0
3B + 4C = 13

A = - C
B = -3A = 3C
9C + 4C = 13
 
C = 1
A =-1
B =3

Т.о. исходный интеграл свели к сумме двух интегралов:
S (3-x)/(x^2 + 4) dx + S 1/(x + 3)dx
При этом первый можно разбить еще на два:
S 3/(x^2 + 4) dx - S x/(x^2 + 4) dx + S 1/(x + 3) dx
S 3/(x^2 + 4) dx = (3/2)*arctg(x/2) + C - табличный интеграл
S 1/(x + 3) dx = ln(x + 3) + c - табличный
S x/(x^2 + 4) dx = 1/2 *S 1/(x^2 + 4) d(x^2 + 4) = 0.5 * ln(x^2 + 4) + c  - аналогично предыдущему.
ответ: (3/2)*arctg(x/2) + ln(x + 3) + (1/2)* ln(x^2 + 4) + c

вроде так, но мог где-то ошибиться