Войти Регистрация Спроси ai-bota

Sqrt(1-x^2)*dx в пределах от 1 до 0 с решением

Ответ:

dashko4etckowa

24.07.2020 19:22

$\int\limits^0_{-1} {\sqrt{1-x^2}} \, dx = (*)$

Найдём неопределённый интеграл.

Сделаем замену
$x=\sin{t}; \ \ dx=\cos{t} \, dt \\ \\ (*)= \int 
{\sqrt{1-\sin^2{t}}} \cdot \cos{t} \,dt = \int{\sqrt{\cos^2{t}}} \cdot 
\cos{t} \,dt = \int \cos^2{t} \,dt = \\ \\=\int {\frac{1+\cos{2t}}{2}} 
\,dt = \frac{1}{2} \cdot (\int {1} \,dt + \int {\cos{2t}} 
\,dt)=\frac{1}{2}\cdot (t } + \frac{1}{2} \int {\cos{2t}} \,d(2t))=\\ 
\\$ $\frac{1}{2}\cdot ( t + \frac{1}{2} \sin{2t}})+C=\frac{1}{2}\cdot (t + \frac{1}{2} \sin{2t}})}+C = (*) \\ \\ x=\sin{t}; \ \ t =arcsin \, x \\ \\ (*)=\frac{1}{2}\cdot (arcsin \, x + \frac{1}{2} \sin{(2\cdot arcsin \, x)}})}+C$

Вычислим определённый интеграл
$\left.{ \frac{1}{2}\cdot (arcsin \, x + \frac{1}{2} \sin{(2\cdot 
arcsin \, x)}})} }\right|_{ -1 }^{ 0 }=\\ \\ =\frac{1}{2} (arcsin 0 + 
\frac{1}{2} \sin{(2\cdot arcsin 0)}}- (arcsin (-1) + \frac{1}{2} 
\sin{(2\cdot arcsin(-1))} \\ \\ =\frac{1}{2} (0 +0}- (-\frac{\pi}{2}+ 
\frac{1}{2} \sin{0}))=\frac{1}{2} \cdot 
(\frac{\pi}{2}-0)=\frac{\pi}{4}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

nomakade

03.06.2020 20:18

3. знайдіть: а) 1 % від числа 76; б) 30 % від числа 120: b) 156 % від числа 62...

Arkadysh

10.10.2020 16:00

Решите подробно по действиям....

Kerisha4

04.02.2020 09:25

1254 найдите решение системы или докажите что система не имеет решений x/2-y/3=-2 2x-y=-3...

bykhan2

04.08.2020 08:36

Зцифр 5, 6, 7 трицефрове число, усі цифри якого різні. скільки існу в скласти таке число? із чисел, складених описаним навмання вибирають одне. яка ймовірність...

оскар4444

27.03.2021 03:29

Знайти площу рівностороннього трикутника якщо його сторона дорівнює 12 см...

eliot40

17.02.2020 07:17

Правильная и не правильная дробь алгоритм...

tim1415320053774

19.07.2022 14:52

Найдите целые решения неравенства: -x^2+x+6 0...

Руфина157

31.05.2023 22:15

21+(16+х)=56 решить пример заранее...

dizzone

10.01.2021 23:38

10. Составьте уравнение и решите его. а) Если неизвестного числа увеличить на 10- 4 3 8 то получится 13 Найдите неизвестное число. 2 5 1 б) Если неизвестного числа...

medusya

03.02.2023 22:40

В одной коробке на 12 кг клубники больше чем во второй опредилите сколько кг клубники в каждой коробке если всего32 кг клубники как решить уровнением?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку