Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти интеграл: интеграл arctg(корень x) dx

Ответ:

rubon

24.07.2020 17:49

$\displaystyle x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$

Пошаговое объяснение:

$$\int arctg\sqrt x\;dx$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

$$\int u\;dv = uv - \int v\;du$

Пусть u = arctg√x ⇒

$\Rightarrow \displaystyle du = arctg(\sqrt x)' \;dx = \frac{dx}{(1+x)\cdot2\sqrt x}$

Пусть dv = dx ⇒ v = x

$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Рассмотрим интеграл:

$\displaystyle\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Обозначим √x = t

x = t² ⇒ dx = 2t dt

$\displaystyle\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)} = \int \frac{t^3dt}{t\cdot(1+t^2)} = \int \frac{t^3dt}{t+t^3} = \int\bigg(1- \frac{t}{t+t^3}\bigg)dt = \\\\\\t - \int\frac{dt}{1+t^2} = t - arctg(t) = \sqrt x - arctg\sqrt x$

Вернёмся к нашему интегралу:

$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)} =\\\\\\= x\cdot arctg\sqrt x - (\sqrt x - arctg\sqrt x) = x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Black13495

15.01.2020 02:09

Вирушивши в похід, турист 17 год плив річкою на човні зі швидкістю 9км/год і йшов пішки 34 год зі швидкістю 3 км/год. який шлях, річкою чи суходолом, він подолав...

ks441934

15.01.2020 02:09

«в треугольнике авс стороны ав и ас равны и имеют длину 28 мм.чему равна длина стороны вс,если периметр треугольни ка равен 72 мм? » была исправлена опечатка....

melongemma

15.01.2020 02:09

Периметр треугольника авс равен64 см. сторона ав меньше стороны ас на 7 см.,но больше стороны вс на 12 см. найдите длину каждой стороны треугольника авс...

Кристина7836

15.01.2020 02:09

«в треугольнике авс стороны ав и ас равны и имеют длину 28 мм.чему равна длина стороны вс,если периметр треугольни ка равен 72 мм? » была исправлена опечатка....

vladoosmartich

15.01.2020 02:09

Вбидоне 36 л молока. когда из него перелили в другой бидон 4 л в обоих бедонах стало поровну. сколько литров было в другом бидоне...

Sobsrhjj

15.01.2020 02:09

Придумайте ситуации, связанные с движением по реке, которые описывались бы следующими моделями: 75: (23+2); 64: (19-3)...

elyp28

15.01.2020 02:09

Вгороде 4 таксомоторных парка на 5 600 машин. строят ещё 3 таких парка. сколько машин разместится в новых парках, если во всех парках машин поровну?...

shidiemmacom1

15.01.2020 02:09

Пятиклассник вася придумал признак делимости на 18: если сумма цифр числа делится на 18, то это число делится на 18 . прав ли вася? васин одноклассник ваня сказал...

ВаняДеркач

15.01.2020 02:09

1. в стихотворении ренаты мухи улитка есть такие строки потом обратился с вопросом к прохожим и всем пролёта и ползающим тоже.какое слово здесь читается не так как...

Екатерина31Теребун

15.01.2020 02:09

На изготовление 20 аппликаций требуется столько же цветной бумаге, сколько требуется для изготовления 60 китайских фонариков. сколько аппликаций можно сделать вместо...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку