Представляем нечетное число в виде 2н+1, тогда следующее 2н+3. н = 0,1,...
Дальше по индукции: при н=0 получаем числа 1 и 3. Очевидно, взаимно простые. Предположим, что для некоторого н эти числа взаимно простые. Тогда для н+1 получаем 1-е число: 2(н+1) + 1 = 2н+3 = (2н+5)-2 2-е число: 2(н+1)+3 = 2н+5 делим почленно первое на второе, получаем 1 - 2 : (2н+5). При н>=0 знаменатель второго слагаемого очевидно больше числителя, т. е. это слагаемое всегда меньше 1, но не равно нулю. Следовательно при любом н это число не будет целым.
Согласно прниципу индукции заключаем, что любые два числа простые.
Дальше по индукции:
при н=0 получаем числа 1 и 3. Очевидно, взаимно простые.
Предположим, что для некоторого н эти числа взаимно простые.
Тогда для н+1 получаем
1-е число: 2(н+1) + 1 = 2н+3 = (2н+5)-2
2-е число: 2(н+1)+3 = 2н+5
делим почленно первое на второе, получаем
1 - 2 : (2н+5).
При н>=0 знаменатель второго слагаемого очевидно больше числителя, т. е. это слагаемое всегда меньше 1, но не равно нулю. Следовательно при любом н это число не будет целым.
Согласно прниципу индукции заключаем, что любые два числа простые.