Может ли число вида 1999^n-1 заканчиваться на 1999 нулей? ответ обязательно обосновать

Может.

Подготовительный факт: рассмотрим бином Ньютона (a, b - целые числа)

Преобразуем:

"А" в последнем равенстве тоже целое.

Теперь можно приступить к решению. Рассмотрим последовательность 

Все числа ai, bi - целые, явный вид которых не важен.
И вообще, если


Итак, 1999^(10^k) - 1 кончается не менее, чем на (k + 3) нуля. Тогда, выбрав k = 1996, получаем желаемое.