Однажды несколько друзей обменивались . в некоторый момент оказалось, что среди любых четырёх из них имеется хотя бы один человек, который уже успел руки трём остальным. какое наибольшее число ещё могло остаться сделать друзьям?

Очевидно, что могло остаться три рукопожатия. Например, А, В, С не другу руки, а руки всем троим. Покажем, что больше трёх не моглооставаться рукопожатий для любого числа друзей. Пусть А и В к данному моменту не друг другу руки. Среди остальныхдрузей нет пары С и D, которая бы не сделала рукопожатия, так как в противномслучае среди четырёх друзей А, В, С и D не нашлось бы того, кто руки трёмостальным. По той же причине среди остальных друзей нет и такой пары С и D, каждый из которых не совершил бы рукопожатия либо с А, либо с В. Но одинчеловек, который не руку А или В или обоим, может оказаться (см. примервыше). Поэтому осталось сделать не более трёх рукопожатий.