Войти Регистрация Спроси ai-bota

Необходимо решить интеграл: tg(x)/(1-ctg^2(x))

Ответ:

hellllo

10.07.2020 15:51

$\int \frac{tgx\, dx}{1-ctg^2x}=[\; t=tgx\; ,\; x=arctgt\; ,\; dx=\frac{dt}{1+t^2}\; ]=\int \frac{t\, dt}{(1-\frac{1}{t^2})(1+t^2)}=\\\\=\int \frac{t^3\, dt}{(t^2-1)(1+t^2)}=Q\\\\\frac{t^3}{(t-1)(t+1)(t^2+1)}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct+D}{t^2+1}\\\\t^3=A(t+1)(t^2+1)+B(t-1)(t^2+1)+(Ct+D)(t-1)(t+1)\\\\t=1:\; \; A=\frac{t^3}{(t+1)(t^2+1)}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\\\\t=-1:\; \; B=\frac{t^3}{(t-1)(t^2+1)}=-\frac{1}{4}\\\\\\t^3\; |\; A+B+C=1\; ,\; \; C=1-A-B=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$

$t^2\; |\; A-B+D=0\; ,\; \; D=-A+B=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}\\\\\\Q=\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t-1}-\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t+1}+\int \frac{t-\frac{1}{2}}{t^2+1}\, dt=\frac{1}{4}\cdot ln|t-1|-\frac{1}{4}\cdot ln|t+1|+\\\\+\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{t-1}{t+1}\Big |+\frac{1}{2}\cdot ln|t^2+1|-\frac{1}{2}\cdot arctgt+C=\\\\=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{tgx-1}{tgx+1}\Big |+\frac{1}{2}\cdot \Big (ln|tg^2x+1|-artg\, (tgx)\Big)+C=$

$=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{tgx-1}{tgx+1}\Big |+\frac{1}{2}\cdot \Big (ln(tg^2x+1)-x\Big)+C=$

$=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{tgx-1}{tgx+1}\Big |+ln\sqrt{tg^2x+1}-\frac{1}{2}x+C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

faets

09.02.2020 12:38

Турист проделал путь 540км. На лошади он проехал 85% всего пути. Сколько км он проехал на лошади?...

Ididhhxj

02.01.2023 14:22

Постройте график функции y x в квадрате на промежутке...

danil1365334

14.06.2021 04:41

X≥0 как решитьнеравенство...

Jastick

21.06.2020 10:14

Плошадь баскетбольной плошатки 420м а ее ширина 15 м.найди периметр баскетболной плошатки...

кхммммм

27.01.2021 09:07

Картинка: https://i.imgur.com/pbflACM.jpg...

ЯЯЯ1118526

30.11.2020 01:33

Дано точки: А (-4; 6); В(-3;-4); С(3;-8); D (0;6); Е (-6; 0); K(5;0); N(3;-1); М(0;-7).Назвіть абсциси точок А, С, Е, N.Назвіть ординати точок. В, D, К, М.Назвіть...

mereikа

22.04.2020 10:04

8 кг 10 г - 3 кг 800 г + 7 кг 340 г =?...

annykovaleva

21.01.2021 20:18

Какой вид имеет треугольник, если расстояние от его ортоцентра до центра описанной около него окружности больше радиуса этой окружности? 1) Равносторонний. 2) Остроугольный....

LERa007123

23.02.2022 16:23

Упрости выражение. 13/14×14/13×12/15×15/12×16/17×17/16×18/19. у меня завтра СОЧ по математике!! ...

Masha134689

13.02.2020 09:40

Найдите периметр треугольника 1/5 см 1 3/10 см 2 1/6 см...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку