Из набора гирек с массами 1, г потерялась гирька массой 19 г. можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?

Арифметическая прогрессия с первым членом 1 и шагом 1. Масса всех гирек - сумма 101 члена прогрессии.

Масса без потерянной гирьки 5151-19 = 5132 г. В каждой кучке должно быть 5132:2 = 2566 г.
Если сложить массу первой и 101-й гирек, второй и 100-й, третьей и 99-й и т.д. до 18-й и 84-й, их масса будет по 102 г. Всего 18 пар, по 9 пар в каждую кучку. 9*102  = 918 г.
Далее складываем массы 20-й и 83-й, 21-й и 82, 22-й и 81-й и т.д. Масса каждой пары 103 г, всего 32 пары. В каждую кучку по 16 пар. 16*103 = 1648 г.
Итого в каждой кучке по 918+1648 = 2566 г.
Получилось =)